|
Математическая физика со времён
Ньютона и Максвелла занимается разработкой математических
моделей естественных процессов и их исследованием, включая
в последнее время не только физические, но также химические,
биологические, информационные процессы.
Основным методом в математической
физике является составление и исследование дифференциальных
уравнений в частных производных, как для классических функций,
так и для операторнозначных, включая уравнения квантовой теории
поля. При этом используются разнообразные методы функционального
анализа, комплексного анализа, дифференциальной геометрии,
теории вероятностей, алгебраической геометрии, теории
чисел, теории алгоритмов.
Исследования по математической
физике в России традиционно, включая и последнее время, ведутся
на самом высоком международном научном уровне. У нас в стране
созданы научные направления, признанные в мировой науке: в
теории функциональных пространств, краевых задач, теории
уравнений переноса, в квантовой теории поля, теории классических
и квантовых интегрируемых систем, теории особенностей,
квазиклассических и других асимптотических методов, квантового
управления и др.
Ожидается, что в ближайшие
десятилетия будет происходить как исследование традиционных
важных задач математической физики, включая нерешённые проблемы
в теории
краевых задач для классических и квантовых уравнений на
многообразиях с особенностями(в том числе проблема потери
информации при хокинговском испареннии черных дыр), исследование
решений гидродинамических уравнений Навье-Стокса, известная
проблема удержания кварков в теории калибровочных полей,
развитие математического аппарата в теории суперструн, теория
интегрируемых систем и другие, так и разработка новых
направлений, связанных с развитием био-, нано-, информационных,
когнитивных технологий, которым в последние годы уделяется
особое внимание. Разумеется, разработка новых направлений будет
опираться на накопленный за многие годы огромный объём
результатов и идей в математической физике и других разделах
математики.
Подчеркнём важность исследований
фундаментальных проблем в теории наносистем. Отметим следующие
фундаментальные проблемы в теории наносистем, в решение которых
российские специалисты по математической физике могут внести
важный вклад. Проблема необратимости. Именно на наномасштабах
происходит переход от обратимого по времени поведения решений
уравнений микроскопической динамики(Ньютона, Шредингера) к
необратимому поведению решений макроскопических
уравнений(Больцмана, Навье-Стокса и др.
Российские математики разработали методы, адекватные для решения
этой проблемы, в частности метод слабого предела, метод
стохастического предела и др.
Эти методы могут быть
использованы также для исследования важных для приложений задач
теории переноса в наносистемах. Здесь требуется обобщение
существующих кинетических и гидродинамических уравнений с тем
чтобы учесть особую роль вязкости и поверхностного натяжения.
Важными проблемами, которые будут
исследоваться, являются исследование переходного режима в
наносистемах от квантового описания на микроуровне к
классическому описанию на макроуровне; задачи квантовой теории
информации; процессы самоорганизации в наносистемах, в том числе
для белковых молекул.
В качестве нового, прорывного
направления исследований укажем также на разработку методов р-адического и ультраметрического анализа для применений в
математической физике. Вместо традиционного подхода, когда в
основу построения моделей естественных процессов кладутся
вещественные числа, здесь используются р-адические числа, что
оказывается более эффективным при описании ряда сложных систем,
имеющих иерархическую структуру, включая наносистемы. Это
направление было первоначально создано в Математическом
институте им. В.А. Стеклова РАН и сейчас активно развивается во
многих странах. Уже получены первые интересные и обещающие
приложения этих методов для описания динамики белковых молекул и
для некоторых задач в когнитивных исследованиях.
Чл.-корр. РАН И.В. Волович, И.о. заведующего Отделом
математической физики
Математического института им.
В.А. Стеклова РАН
Источник
|
